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一个积分

  • 一个积分

  • 已被浏览: 20 次2020年11月21日    来源:  https://www.cnblogs.com/proper-time/p/14017869.html
  • \[\dfrac{4\pi}{3}\vec{x}=\int\dfrac{\vec{x}-\vec{x}'}{|\vec{x}-\vec{x}'|^{3}}{\rm d}^{3}\vec{x}'\ ,\]直接计算右边比较麻烦,可以选一个坐标

    \[\dfrac{4\pi}{3}\vec{x}=\int\dfrac{\vec{x}-\vec{x}"}{|\vec{x}-\vec{x}"|^{3}}{\rm d}^{3}\vec{x}"\ , \]

    直接计算右边比较麻烦,可以选一个坐标系用分量做,也可以换成球坐标再把体积元用雅科比行列式变一下,但是也非常麻烦。下面证明这个等式是对的,而不直接计算。

    首先我们知道

    \[4\pi=-\int_{V}\nabla^{2}\dfrac{1}{r}{\rm d}^{3}V=\int\nabla_{x}\cdot\dfrac{\vec{x}-\vec{x}"}{|\vec{x}-\vec{x}"|^{3}}{\rm d}^{3}\vec{x}"\ , \]

    那么

    \[\nabla_{x}\cdot(\dfrac{4\pi}{3}\vec{x}-\int\dfrac{\vec{x}-\vec{x}"}{|\vec{x}-\vec{x}"|^{3}}{\rm d}^{3}\vec{x}")=0\ , \]

    因此括号内必须是常矢量,然后当\(\vec{x}=0\)时得到括号内等式为 0,因此原等式成立。矢量积分一个麻烦之处就在于不同分量之间的关联,特别是最终留下的矢量方向难于确定,暴力对分量积分是万不得已但也是最直接的方法,除此之外不知道有没有系统的处理方式。

    本来希望能有计算出右边的好方法,但是没有找到,但至少证明了等式成立,以后也可以放心地使用了。


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